INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA

"TIERRA, TIEMPO, TRABAJO Y TECNOLOGÍA"

CÁLCULO DIFERENCIAL

M. EN C. ALBERTO MÉNDEZ ROMÁN

UNIDAD 5 ACTIVIDAD 1

equipo 9

MAURICIO BAEZA RUIZ

ULISES REYES ARIAS

 JOEL GONZALO CASTILLO SALAYA

DANIEL DE JESUS ALVARES MAGAÑA

1° SEMESTRE, GRUPO "A

Aplicación de las derivadas y sus tipos

La determinación de las derivadas no está limitada solamente a un punto de vista teórico para que de esta forma los estudiantes puedan entender distintos temas de las matemáticas, sino que hay una serie de aplicaciones vitales de las derivadas en ejemplos de la vida real. Las derivadas encuentran un lugar vital en la ingeniería, física e incluso en los negocios y la economía, etc. Algunas de las aplicaciones más notables de las derivadas se explican a continuación:

1. Tasa de variación: Esta es la aplicación más utilizada de las derivadas. Encuentra su aplicación en muchos problemas de la física. La tasa de variación en la localización de un punto te dará la velocidad de ese punto. De manera similar la tasa de cambio de la velocidad de un punto se conoce como la aceleración del mismo. La velocidad de un punto se despeja como,aquí x es el punto cuya velocidad será calculada y t representa el intervalo de tiempo.

2. Punto Crítico: El punto crítico tiene una cantidad vasta de aplicaciones que incluyen la termodinámica, la física de la materia condensada, etc. Un punto crítico es aquel donde la derivada de la función es cero, no existe en absoluto.

3. Determinación de valores mínimos y máximos: A este proceso se le denomina optimización. Existen una serie de problemas que requieren la determinación de los valores mínimos y máximos de alguna función tal como la determinación del menor costo, aproximación del menor tiempo, cálculo de mayor ganancia, etc. Puede existir un mínimo local / punto máximo que se denomina mínimo relativo / máximo punto o mínimo global / máximo punto que se le llama como mínimo absoluto / punto máximo. El máximo absoluto es uno, , para todos los puntos del dominio de la función. Mientras que un punto máximo relativo es uno, , para todos los puntos en un período abierto en las proximidades de x igual a c.

4. Método de Newton: Una aplicación digna de notar de las derivadas es el método de Newton, este es utilizado para rastrear las raíces de una ecuación en una cascada de etapas para que en cada paso de la solución encontremos una solución mejor y más adecuada como raíz de la ecuación. Este envuelve también el uso de algunos términos de las Series Taylor. En términos llanos, el método de Newton puede establecerse como,

5. Aplicaciones en el ámbito del comercio: Existe una gran cantidad de lugares en el comercio donde las derivadas son requeridas. Dado que el objetivo final del comercio es el de maximizar las ganancias y minimizar las pérdidas, la teoría de máximos y mínimos puede utilizarse aquí para evaluar la respuesta correcta y así aumentar la productividad total del comercio. También resulta conveniente analizar el costo promedio de un artículo lo que puede ayudar al aumento de la ganancia.

6. Aproximación lineal: En una serie de ramas de la física, como es el caso de la óptica, la Aproximación lineal juega un papel vital. En este utilizamos una función lineal con el fin de encontrar la aproximación de cualquier función general. Esta es más comúnmente conocida como una aplicación de la recta tangencial al gráfico de cualquier función lineal.

Velocidad y aceleración

Cuando realizamos un viaje en auto, siempre hacemos cálculos del tipo «recorrimos 180 km en dos horas: viajamos a 90 km por hora». Es decir, dividimos el espacio recorrido por el tiempo empleado para obtener una velocidad media. Pero claramente es posible ir en algún momento más rápido y en otro momento más lentamente (el maldito tráfico…) obteniendo el mismo resultado general. Para tener una idea más precisa de cómo fue el movimiento podríamos dividir el viaje en etapas (por ejemplo, en cuartos o en doceavos) y ver el tiempo que tardamos en cada etapa: cuantas más etapas, mayor precisión. Por lo tanto, si indicamos con  un cambio en la posición y con   el tiempo empleado para realizar ese cambio, podemos decir que la velocidad instantánea es el «límite» del cociente entre el desplazamiento y el tiempo empleado considerando intervalos de tiempo cada vez más pequeños. Simbólicamente:

De la misma forma que la velocidad es la variación de la posición en el tiempo, la aceleración es la variación de la velocidad en el tiempo:

 

Y así como introdujimos en su momento la notación integral para un cierto límite, podemos ahora introducir otra notación, la de la derivada:

Velocidad como derivada de la posición respecto del tiempo

Aceleración como derivada de la velocidad respecto del tiempo

Y ya que estamos: dado que la aceleración es la derivada de la velocidad y que la velocidad es la derivada de la posición, podríamos introducir una «derivada segunda» que no es otra cosa que derivar algo dos veces:

Con lo cual, la ecuación con la que abrimos esta entrada

ecuación que mezcla velocidad y aceleración, pasaría a escribirse como una ecuación diferencial donde solo se encuentra la velocidad:

o, en forma aún más interesante, como una ecuación diferencial donde solo se encuentra la posición:

La ecuación del espacio recorrido por un móvil en función del tiempo es   s(t) = 3t² - t + 3 ,  donde  t  se mide en segundos.

1)   Halla la velocidad media en el intervalo   [2 , 3] .

2)   Halla la velocidad para   t = 3   segundos.

3)   Demuestra que la aceleración es constante para cualquier intervalo.

1)   Halla la velocidad media en el intervalo  [2 , 3] .

2)   Halla la velocidad para   t = 3   segundos.

También podríamos haber hallado la velocidad en   t = 3   aplicando las reglas de derivación:

                       v(t₀) = s'(t₀) = 3·2t₀ - 1 = 6t₀ - 1

y sustituyendo en   t = 3 :

                       v(3) = s'(3) = 6·3 - 1 = 17

3)   Demuestra que la aceleración es constante para cualquier intervalo.

Para calcular la aceleración tenemos que hallar:      a = s''(t)

            s'(t) = 6t - 1

            s''(t) = 6

La segunda derivada es constante igual a   6 ,  por lo que podemos afirmar que la aceleración es constante para cualquier intervalo ( a = s''(t) )

Velocidad media

Para encontrar la rapidez o lentitud del movimiento de un móvil entre dos instantes   t₀   y   t₁ = t₀ + h    (h = t₁ - t₀)    se recurre a la velocidad media:

          

Indica la velocidad media de dicho móvil entre los instantes   t₀   y   t₀ + h .

En general, esta velocidad media representa la tasa de variación media    (TVM)    de la función   s(t)   en un intervalo cualquiera.

Velocidad instantánea

Para encontrar la velocidad de un móvil en un momento determinado   t = t₀   hallamos la velocidad instantánea:

          

En general,    v(t) = s'(t)    es la velocidad instantánea para cualquier instante:

          

Aceleración

Para hallar la aceleración de un móvil en un momento determinado   t = t₀ :

          

En general,    s''(t) = v'(t)    es la aceleración para cualquier instante: